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400 - Ágono

Hei você ! Já tinha visto um 400-ágono ? Pois aí está um legítimo 400-Ágono Se tiver paciência e não se importar em gastar impulsos telefônicos você pode checar se é realmente um 400-ágono contando os lados da figura. O 400-ágono aqui ilustrado foi produzido em 1994 por uma menina de 11 anos, a Luciana minha aluna da 5ª série da Escola da Vila naquele ano. Seu 400-ágono foi construído na seqüência de um conjunto de atividades sobre "polígonos mal comportados" (veja atividade 4 pg. 133 do livro da 5a. série da coleção Matemática Hoje é Feita Assim). A Luciana tentava resolver o desafio de produzir um "centágono" (também conhecido como 100-ágono) usando como vértices os pontos de uma rede pontilhada 10x10.   Construir o 100-ágono não foi difícil, ela descobriu um procedimento que a entretia, daí em diante ela impôs a si mesma outros desafios de construção de polígonos gigantes nas redes pontilhadas e assim chegou a nosso 400-ágono. O desafio de construir mega-polígonos acabou por contaminar outros alunos. O Ian construiu um polígono de 21.000 lados. No ano seguinte os alunos da 5a. série se organizaram para derrubar este recorde e surgiu um polígono de 60.000 lados! Polígonos mal comportados construídos sobre redes pontilhadas geraram idéias mais interessantes ainda, como o GNC. Você sabe o que é GNC? Tudo começou quando o João, da mesma turma da Luciana, formulou uma proposição frente ao desafio de construir o maior polígono numa rede 8x8. Eis a propo-João: "O maior polígono que se pode construir numa rede 8x8, é o 64-ágono". Esta proposição foi logo generalizada pelo grupo. Propo-classe: "O polígono com o maior número de lados que se pode construir numa rede nxn tem n2 lados". Alguém lembrou que a coisa não era bem assim pois deve haver restrições para n. Para ser válida deve-se ter n>3. Observando os n-ágonos como se fossem labirintos alguém indagou: "Como posso decidir se uma figura é mais ou menos convexa que outra?" Taí algo que nunca tinha passado em minha cabeça, sequer estudei isto na universidade. Mas a criatividade dos alunos parece não ter limites. Depois de algumas tentativas frustradas de se medir a convexidade de um polígono, Ananda, da mesma idade que a Luciana define aquilo que passou a ser chamado de GNC, ou seja, o "grau de não convexidade" de um polígono. O GNC de um polígono é o número de pinos-vértice que ficam no exterior caso o polígono seja construído com elástico num geoplano (tabuleiro formado por pinos eqüidistantes como na grade pontilhada - veja foto na pg. 131 do livro da 5a. série MH). Uau!! Porque não pensei nisto antes? De posse da definição do GNC que tal problematizar? Qual é o GNC de um retângulo? Qual é o único polígono que tem sempre GNC=0? Qual é o GNC de uma figura convexa? Qual é o GNC máximo de um polígono de n lados? É possível construir um polígono cujo GNC=7? Quantos lados tem esse polígono? Qual é o menor número de lados que pode ter um polígono com GNC=7? Qual é o GNC do 400-ágono da Luciana? Taí. E tem gente que pensa que toda a matemática já tinha sido criada!