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Seiji Hariki
Resumo: Nesta palestra pretendo focar o problema da ambigüidade no discurso matemático.
A tese que quero defender aqui é que a ambigüidade é inerente á linguagem, inclusive a linguagem matemática, e que por isso é útil tentar tirá-la do discurso matemático.
A ambigüidade é fruto da dialética existente entre duas concepções de linguagem matemática, uma, que a linguagem matemática tem que ser eficaz como instrumento de descobrimento ou de criação de conhecimento matemático, a outra, que a linguagem matemática tem que ser eficaz como instrumento de comunicação.O matemático, o melhor dito, o autor de um texto matemático, tem que estabelecer para se mesmo um compromisso entre as duas tendências opostas, a sintetização (que pode levar a maior ambigüidade) e a explicação excessiva (que pode levar a pedantaria). Em conclusão, a ambigüidade é o preço que se paga para liberar-se do pedantismo.
Sendo assim, se faz urgente apontar como uma das metas de uma política conseqüente no ensino da matemática a prática de uma maior tolerância da ambigüidade. é necessário, por tanto, ensinar aos alunos a detectar no discurso matemático onde a ambigüidade é empregada de maneira consciente, ensinar a tolerância e a conviver com ela.
"No momento apropriado, proporemos uma forma de pedagogia da ambigüidade para dar ao espírito científico a flexibilidade necessária para a compreensão de novas doutrinas."
Que estaria imaginando o filósofo Gastón Bachelard ao referir-se a uma pedagogia da ambigüidade ?
Este trabalho é uma reflexão sobre essa possível pedagogia da ambigüidade no contexto da educação matemática.
O primeiro problema que achamos é de ordem semântica: a ambigüidade da palavra "ambigüidade" ... São pelo menos dois os sentidos com os que se pode usar essa palavra. O primeiro sentido é o da ambigüidade como sinônimo de multiplicidade.
Tal ambigüidade origina-se na falta de correspondência uma a um entre os objetos matemáticos, nomes e símbolos. Refiro-me a ela como ambigüidade no discurso.
O segundo sentido é o a ambigüidade do discurso. Ambigüidade como sinônimo de incoerência, falta de correlação entre palavra e ação. Por exemplo, quando um autor escreve no prefácio de um livro uma defesa enfática de rigor e usa no seu texto argumentos intuitivos em grande escala, ou vice-versa, ele está sendo ambíguo. Esta ambigüidade revelaria a ambivalência filosófica ou psicológica do autor. Seria um caso de dupla personalidade, ou tal vez, esquizofrenia ... Este sentido de ambigüidade não será estudado aqui, possivelmente em outro trabalho. Em este trabalho referirem-nos então só ao primeiro sentido da ambigüidade.
Segundo Henri Poincaré, a matemática é a arte de dar o mesmo nome a distintas coisas.
Para falar e escrever a língua matemática é necessário estabelecer relações ou correspondências entre objetos matemáticos, nomes e símbolos. O discurso matemático é assim tecido por meio de duas linguagens em certo modo antagônicas.: a linguagem ordinária, com a sua sobrecarga de conotações e riquezas de detalhes, e a outra, a linguagem simbólica, com todo seu poder de síntese ...
| Estamos interessados então em casos de ambigüidade provenientes das seguintes relações: |
| 1. Objetos e nomes. |
| 1.1 Um objeto - muitos nomes |
1.2 Um nome - muitos objetos.
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| 2. Objetos e símbolos |
| 2.1 Um objeto - muitos símbolos |
2.2 Um símbolo - muitos objetos
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| 3. Símbolos e nomes. |
| 3.1 Um símbolo - muitos nomes |
| 3.2 Um nome - muitos símbolos |
Separaremos o estudo da ambigüidade em duas partes, a primeira associada ao problema da nomenclatura (tipos 1.1. e 1.2.), e a Segunda associada ao problema da simbolização (tipos 2.1. a 3.2.)
Como já temos dito, a linguagem matemática é uma combinação de duas linguagens: a linguagem ordinária e a linguagem simbólica. Em esta seção nos ocuparemos de estudar a ambigüidade que eventualmente ocorre quando se atribuem nomes aos objetos matemáticos.
A ambigüidade de tipo 1.1, um objeto - muitos nomes, é o que em lingüística chama-se sinonímia. È dizer, a ocorrência de dois ou mais palavras com o mesmo significado denotando o mesmo objeto.
Para não perder o hábito peculiar dos matemáticos, comecemos com alguns exemplos:
 Exemplo 1: O exemplo mais conhecido é o do objeto matemático (função). Em português é comum utilizar pelo menos três palavras para designar esse mesmo objeto: função, aplicação e transformação.
Alguns autores estabelecem sutis diferenças. Por exemplo, usam a palavra " função" quando se trata de função numérica, é dizer, o domínio e o co-domínio são conjuntos abstratos; e "transformação" quando o domínio e o co-domínio são espaços vetoriais ou conjuntos com alguma outra característica geométrica. Para outros, estas palavras são simplesmente sinônimo.
Devido á importância e ubiqüidade deste objeto o conceito matemático muitos outros nomes foram inventado: correspondência, relação funcional, funcional, operação, operador, isomorfismo, homomorfismo, monomorfismo, projeção, morfismo.
Exemplo2: Conjunto, coleção, classe, família...observe que a palavra " grupo" é proibida em matemática com esse significado.
Exemplo3: Caraterística = posto (de uma matriz)
Exemplo 4: Grupo comutativo = grupo abeliano
Exemplo 5: Desigualdade de Cauchy = desigualdade de Schwarz 0 desigualdade de Cauchy-Schwarz = desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakovskii.
Os países matematicamente menos desenvolvidos, como os de língua portuguesa, tem que aceitar ou pelo menos, adaptar a nomenclatura dos países mais avançados. Como temos mais de uma fonte, ocorre então a babelização: importamos termos matemáticos tanto do inglês, como do alemão ou do francês. Por exemplo, as vezes, falamos de auto-valores e outras dizemos valores próprios.; o núcleo de uma aplicação T é denotada por Ker (T), esto é, o Kernel de T. Aparte disso, surgem situações esdrúxulas como, por exemplo, o fato de que no Brasil se diz "A integral" em quanto que em Portugal se diz "O integral". Como será em Moçambique?
A ambigüidade de tipo 1.2, um nome- muitos objetos, a chamaremos homonímia. Esta é menos freqüente que a sinonímia dado que a quantidade de termos da linguagem ordinária é muito maior que a quantidade de conceitos matemáticos.
Exemplo 1. O caso da palavra "zero". Por exemplo, o número 1 é um zero no polinômio x² - 1, mas o número zero não é um zero de esse mesmo polinômio.
Exemplo2: O caso da palavra " linear". A função y = x + 1 é par alguns uma função linear, no sentido em que seu gráfico é uma e não no sentido da álgebra linear, é dizer uma função que preserva a estrutura vetorial. Em este caso a palavra linear tem duplo sentido. Para evitar essa ambigüidade outros preferem chamar dita função, função linear - afim, ou função afim, ou função de primeiro grau, com o perigo de tender a uma sofisticação desmedida.
O problema central da nomenclatura dos termos matemáticos é tal vez a ambigüidade devido à exageração nos nomes. A preciosidade dos detalhes na descrição das situações provoca essa profusão de nomes, principalmente depois da divulgação da chamada " matemática moderna". Esta exageração leva certamente à pedantaria. O senso comum requer um compromisso entre a ambigüidade e a pedantaria.
A ambigüidade do tipo 2.1, um objeto - muitos símbolos, refere-se à multiplicidade de símbolos matemáticos para um mesmo objeto. O exemplo clássico é o uso de vários símbolos para designar a derivada de uma função. f´, Df, df/dx,...
Também encontramos ambigüidade de notação no estudo de funções trigonométricas inversas : arc tan ou tan-1? é difícil perceber que tan-1(3), (tan(3))-1 e tan(3-1) são coisas distintas ?
A história do descobrimento ou da criação dos objetos matemáticos é uma das responsáveis por essa proliferação de símbolos. Cada matemático pensa que seu símbolo é o melhor que o do outro. Observe-se que a discussão entre Newton e Leibniz só represento um atraso para a matemática em Inglaterra. Em que sentido o símbolo pode ser melhor que outro ?
A ambigüidade de tipo 2.2, um símbolo - muitos objetos, é o que mais pode levar a confusão ao principiante.
Exemplo 1: O mesmo 0 designando o número zero, o vetor nulo, a transformação nula, a matriz nula, o funcional nulo...
Exemplo 2: O símbolo de adição «+» usado indiscriminadamente para adição de números, adição de vetores, adição de funções, adição de funções, reunião de conjuntos, etc.
As ambigüidades de tipo 3.1, um símbolo - muitos nomes, e de tipo 3.2, um nome - muitos símbolos, são felizmente escassos. Dado que a quantidade de símbolos usados em matemática é relativamente pequena, não teria muito sentido dar o mesmo nome a símbolos diferentes, só o azar poderia provocar essa sinonímia entre símbolos.
O problema da simbolização nasce da tensão entre o conciso e a claridade. O símbolo em a propriedade de sintetizar um pensamento, mas, por outro lado, o abuso da utilização de símbolos pode levar a perder a claridade.
é necessário destacar o problema da semelhança entre símbolos com diferentes significados. Por exemplo, o símbolo laplaciano e o de gradiente.
Outro problema é o da ambigüidade derivada da insuficiência de símbolos para representar todos os objetos matemáticos. Por outro lado, seria uma sinal de pedantaria inventar um novo símbolo para cada idéia ou conceito matemático que surgira. Certa ambigüidade é necessária ou pelo menos inevitável. Por tanto, não e má idéia falar da tolerância da ambigüidade, como uma etapa necessária para a compreensão da matemática.
A maneira de conclusão, por não dispor de suficiente espaço nem tempo para continuar estas reflexões, proponho a consideração dos leitores, como é costume na comunidade matemática, uma série de problemas que espero sejam interessantes.
O problema seletivo: Que fazer ante a multiplicidade de nomes para um mesmo objeto matemático ? Escolher um para uso e citar os outros ? Escolher um e só um para não confundir os alunos ?
O Problema do critério seletivo: um nome é melhor do que outro ?
O problema de conotação: é preferível usar nomes que evoquem o objeto, é dizer, que dêem alguma intuição ou explicação do objeto? Por exemplo, é melhor usar grupo comutativo que grupo abeliano ? Que fazer com os nomes com conotação negativa, tais como número complexo, número imaginário ?
O problema etimológico: Por que anel chama-se anel e martingale chama-se martingale ? Qual é o significado da função "holomorfa" ?
O problema de atribuição de autoria: que os franceses chamem a certa desigualdade, desigualdade de Cauchy, os alemães desigualdade de Schwarz e os russos desigualdade de Bunyakowskii, compreende-se só por mero chauvinismo. Mas nós, como deveremos chamar essa desigualdade ? Restaurar a verdade histórica ? Não é fácil já que há muitas interpretações conflituosas. Por exemplo, o plano complexo deve ser chamado de plano de Gauss, o plano de Argand ? De Argand-Gauss ? Ou o de Wessel que tal vez tenha sido o pioneiro ?
O problema da mudança de nomenclatura: a tradição é muito forte. Nomes e símbolos são estáveis, difíceis de mudar. Por exemplo, os bourbakistas quiseram em vão impor o uso da palavra "tribo". A moeda corrente todavia é o uso de sigma- álgebra, talvez pela associação entre sigma e a inumerabilidade.
Uma solução cínica: Qualquer nome serve ? Qualquer símbolo?
Referências:
 LOI, MAURICE (1982)."Rigueur et ambiguité, em R. Apery et al., Penser les mathématiques, Editions du Seuil, Paris.
ADDA, JOSETTE (1982)"Difficulties with mathematical symbolism: Synonymy and Homonymy". Visible Language XVI 3, 205-214.
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