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Eduardo Veloso
Grupo de Trabalho de Geometria da APM
As notações utilizadas em geometria, sobretudo depois da matemática moderna, não contribuem para tornar agradável o estudo da geometria. Muito pelo contrário, como são em geral acompanhadas de uma certa tendência para o formalismo, o qual parecer ser o pecado original do ensino da geometria, têm sido um obstáculo - embora não o principal, certamente - para a sua revitalização que, embora promovida pelos atuais programas, está ainda longe de concretização.
Devemos ter coragem de estudar este problema e adotar medidas que conduzam a simplificação, na medida do possível, das notações atuais. A linguagem matemática, e em particular o sistema de notações, num determinado domínio, como por exemplo na geometria, deve caracterizar-se pela clareza e fuga á ambigüidade. ao mesmo tempo, uma notação deve ser sugestiva do que pretende representar. no entanto como professores, devemos lutar para que estas condições não nos conduzam a uma linguagem ou notações rebuscadas.
Aqui apenas se pretende levantar a questão e fazer uma primeira apresentação do problema, esperando que outros leitores da revista intervenham com as suas idéias e sugestões. este assunto foi já objeto de uma primeira discussão no grupo de trabalho de geometria da APM, e de certo modo este texto já reflete essa discussão, mas entendeu- se que seria interessante alargar o debate e registar a opinião de outros professores.
A notação geral para os pontos e para as linhas e curvas parece ser o único aspecto que recolhe a unanimidade das opiniões - os pontos são representados por maiúsculas e as linhas (retas, circunferências, outras linhas curvas, etc.) por maiúsculas. a divergência reside apenas no fato de alguns escreverem sempre em itálico os símbolos dos pontos e das linhas, e outros não se preocuparem com isso. Julgamos que se devia adotar o uso do itálico, para evitar escrever a reta a ou a circunferência e ficar tudo muito mais claro. embora não seja tão necessário, devíamos estender a convenção para os pontos, escrevendo ponto D, ponto O, e assim por diante.
Quando passamos às retas, segmentos, segmentos orientados, semicerras, comprimentos de segmentos etc., começa a diversidade.
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Objetos |
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I |
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II |
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III |
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IV |
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V |
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VI |
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Retas (definida pelos pontos A e B) |
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AB |
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AB |
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AB |
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AB |
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(AB) |
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AB |
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Segmentos (definida pelos pontos A e B) |
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AB |
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AB |
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AB |
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AB |
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[AB] |
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[AB] |
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Comprimento do segmento (def. por A e B) |
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- |
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|AB| |
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AB |
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AB |
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AB |
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AL |
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Semirecta (origem A, contendo B) |
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- |
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AB |
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AB |
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AB |
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[AB) |
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AB |
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Segmento orientado (origem A, extremidade B) |
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AB |
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[A,B] |
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- |
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AB |
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AB |
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[A,B] |
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Ângulo(definido pelos pontos A, Oe B) |
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ÂNGULO AOB |
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AÔB |
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AOB |
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AOB |
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AOB |
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- |
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Ângulo orientado(de OA para OB) |
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ÔAB |
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- |
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- |
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(u,v) |
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Amplitude do ângulo AOB |
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- |
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M(AOB) |
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MAOB |
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- |
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AÔB |
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Triângulo definido pelos pontos A, B e C |
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- |
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[ABC] |
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DABC |
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DABC |
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- |
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[ABC] |
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Polígono definido pelos pontos... |
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ABCD |
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[ABC] |
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ABCD |
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ABCD |
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ABCD |
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[ABC] |
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No quadro da página anterior estão indicadas as notações, correspondentes a diversas fontes, para alguns dos objetos mais usuais da geometria. As fontes são as seguintes:
I - J. Sebastião e Silva. Geometria analítica plana, ed. porto editora (sem data)
II.- J. Sebastião e Silva. Compêndio de matemática, 3º vol., ano propedêutico, ed. Min. da Educação Nacional, 1978.
III - J. A. Franco de Oliveira. Geometria euclidiana, ed. Universidade Aberta, 1995.
IV - Artur Coxford, Zalman Usiskin e Daniel Hirshhorn. Geometry, do University of Chicago School Mathematics Project, ed. Scott, Foresman and Company, 1991
V- Daniel Fredon et al. Mathèmatiques 2éme, ed. Armand Colin, 1990
VI- Yolanda Lima e Francelino Gomes, XEQMAT, ed. O livro, 1992
A escolha foi baseada nos seguintes aspectos:
Os dois livros de sebastião e silva foram escolhido por razões óbvias, entre as quais o fato de poder ser observada a evolução entre "antes da Matemática Moderna " e "no período de introdução da Matemática Moderna". No entanto, e possível que algumas notações, na geometria analítica, fossem difíceis de utilizar na edição, claramente feita com poucos meios, da Porto Editora.
O livro da Universidade Aberta foi escolhido devido influência do seu autor no panorama atual da geometria e do seu ensino em Portugal e pelo fato de ser uma obra muito recente.
Era importante incluir um livro anglo-saxônico, em particular americano, e a fama do projeto que deu origem a este livro e a importância dos autores justificava esta escolha.
Os manuais franceses alinham todos pelo mesmo diapasão e qualquer um poderia ter servido.
As notações dos manuais escolares portugueses atuais não divergem muito e aproximam -se das francesas. Apresentamos as notações de Yolanda Lima e Francelino Gomes porque, tendo sido os autores dos programas do secundário, representam por assim dizer a versão "oficial" da última reforma.
Algumas idéias para iniciar a discussão:
| 1. |
Devemos escrever "o triângulo ABC", ou "o triângulo DABC" ou "o triângulo [ABC] ou "o triângulo D[ABC]"? Qual o inconveniente de utilizar a expressão mais simples?
Quando escrevemos "o triângulo ABC" não existe ai qualquer ambigüidade! é evidente que nos estamos a referir ao triângulo definido pelos três pontos A, B e C. Porque razão não adotar a regra de que, no texto corrido - já veremos a necessidade de outro tipo de notação para os texto mais formais - se devem sempre utilizar as expressões mais simples, desde que se torne não ambíguo o objeto a que nos estamos a referir. Assim, deveríamos por exemplo escrever: |
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"a reta AB", "o segmento AB", "a semireta AB", com os significados óbvios que todos lhes atribuímos. Apenas um "espirito retorcido "pensa que a origem da semireta AB é o ponto B!
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"o triângulo ABC", "o plano ABC", "o quadrilátero ABCD", "quadrado ABCD", "o octaedro ABCDEF".
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"o ângulo AOB", "ângulo orientado AOB", subentendendo-se que o vértice do ângulo é o ponto O e que, no ângulo orientado, a orientação positiva é da semi-reta AO para a semi-reta OB.
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| 2. |
Por vezes, uma escrita mais formal é necessária. Por exemplo, não tem sentido estarmos a escrever "o comprimento do segmento AB é igual a 3" e não usar a expressão mais simples AB=3. Manteríamos portanto a notação habitual AB para comprimento do segmento AB.
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| 3. |
Existe outra razão que nos obriga a ter notações mais formais para os objetos geométrico, que é o fato de por vezes termos que escrever expressões que se tornariam ambíguas sem essas notações. Por exemplo, se o símbolo @ significa "congruente", qual o significado da expressão ABC @ DEF? Serão ABC e DEF triângulos ou ângulos? Teremos portanto, para evitar escrever tudo por extenso - e voltar á Idade Média...- que encontrar notações que desfaçam este tipo de ambigüidades. E, por exemplo, escrever ÐABC @ ADEF ou ÐABC @ ÐDEF.
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| 4. |
Assim, é inevitável termos dois conjuntos de notações, uma simplificada para a escrita corrente, outra mais especifica para a escrita mais formal. se as notações simplificadas não são difíceis de encontrar, as designações mais formais exigem por vezes opções difíceis e muito bom senso. É aqui que esperamos que os leitores de educação e matemática apresentem as suas sugestões e opiniões. Sugerimos dois critérios gerais nesta tarefa de simplificar as notações em geometria: |
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manter, na medida do razoável, as notações a que estamos habituados, para facilitar a transição; no entanto, eliminar a proliferação de parêntesis retos, usando-os apenas quando necessário. Por exemplo, não escrever D[ABC] mais sim DABC.
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Mesmo correndo o perigo de tornar a escrita "menos simbólica", mantê-la mais clara possível. Por exemplo, no caso da amplitude dos ângulos, a notação habitual entre nós é AÔB, com o significado de amplitude do ângulo AOB. É uma notação completamente arbitrária, que não sugere nada do que quer significar. Os autores americanos - e Franco de Oliveira - escrevem mÐAOB) ou m(<AOB). A letra m vem de measure ou medida. Se queremos utilizar a palavra amplitude para medida do ângulo, porque não escrever ampl ÐAOB?
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