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Matemática Hoje - Verdadeira Matemática

Escola sonega dos alunos a verdadeira Matemática

Antonio José Lopes, que todos os alunos conhecem por professor Bigode, é um militante da Educação Matemática, como forma de se constituir a cidadania. Em um sociedade complexa e mergulhada em relações de poder, muitas vezes, ancoradas em números abstratos, ele não aceita um ensino da Matemática que, segundo suas palavras, ''priva o indivíduo da experiência cognitiva do pensamento matemático, da possibilidade de ir além de memorizar tabuadas e fórmulas''. Formado em Matemática pela USP, Bigode está desenvolvendo - para a tese de doutorado a ser apresentada na Universidade Autônoma de Barcelona, na área de Didática da Matemática - pesquisa sobre gestão de sala de aula e escrita, acompanhando os trabalhos dos próprios alunos da 5ª à 8ª série, e analisando a elaboração do pensamento matemático complexo. ''Todo aluno é capaz de produzir conhecimentos matemáticos complexos'', afirma ele, que está lançando a série de quatro volumes Matemática Hoje - é feita assim (FTD), repletos de exemplos de como o professor pode trazer o aluno para o mundo maravilhoso da matemática, onde desenvolve o vínculo entre matemática e cidadania. Desta vez, ele tem esperança de que o livro chegue ao professor, pois sua obra anterior foi considerada ameaçadora e ficou nas prateleiras. ''A razão era simples: o livro trazia outros modelos e isso dessacralizava a Matemática tal como ela vinha sendo apresentada desde o início do século XX''. Como ele, 12 mil filiados à Sociedade Brasileira de Educação Matemática - criada em 1987 - pensam o ensino da matemática de forma diferente da consolidada nos manuais tradicionais. Em entrevista em sua casa, em São Paulo, cercado de livros e jogos de Matemática, Bigode reafirmou ao JORNAL DO BRASIL sua disposição de lutar contra a sonegação da experiência, a privação do momento da descoberta, ''quando os olhinhos na nossa frente, na sala de aula, dizem: Ahá!''. Ele tem um sonho e um plano. ''Quando acabar a tese de doutorado vou fazer tudo que faço na escola particular em uma escola pública'', diz. Seu sonho: provar que todos podem viver a experiência Matemática e praticar a cidadania cognitiva. Por ora, ele dá os primeiros passos para isso, trabalhando no Centro de Educação Matemática (cem@q10.com.br) - espaço de investigação destinado ao professor da rede pública que não tem tido acesso aos programas de aperfeiçoamento oferecidos pelas poucas universidades que se dedicam à Educação Matemática. ''Toda nossa experiência prova que sempre que se investe no professor é possível ter uma educação cidadã''.

Qual é a grande questão do ensino da Matemática hoje?
É fazer com que se tenha a Matemática para todos. Sou um entusiasta, alguém que abraça essa causa. A exclusão provocada pela Matemática, a Matemática em relação a outros segmentos sociais, Matemática e gênero. Hoje, discute-se, pesquisa-se isso seriamente. Todos os indivíduos sãos têm condições plenas de pensar matematicamente, enfrentar situações de matemática complexa. O que não quer dizer que tenham que se tornar craques em matemática. Todo indivíduo pode acessar uma matemática que vai além das quatro contas.

Não é essa a impressão que a escola nos deixa.
A escola tradicionalmente não tem estado voltada para isso. E não é uma opinião pessoal. São estatísticas. Veja o site do INEP, está tudo lá. Em números.

Podemos dizer que a Matemática é uma área de conhecimento excludente?
Podemos. Ela sempre foi campeã, em todos os lugares, da responsabilidade pela evasão e pela repetência.

Seria uma responsabilidade também do chamado ensino tradicional?
Não sou contra o ensino tradicional a priori. Mas é fato: esse ensino que estamos querendo deixar de lado ou transformar provocou a exclusão. Uma exclusão que acaba sendo legitimada, aceita, reconhecida, quando se dá pela Matemática. Se o aluno é reprovado em Geografia, a mãe protesta, reivindica. Quando é em Matemática, ela pode achar que o filho não tem aptidão, não nasceu para isso. Os professores que participam daquelas reuniões de final de ano, dos conselhos de classe, sabem do que eu estou falando. Quando o professor de História ou de Artes vai discutir a performance de um aluno é olhado com desdém. Se é o professor de Matemática, é diferente. É visto como autoridade.

Nunca se fez essa crítica antes?
Essa exclusão perversa já foi denunciada há muitos anos pelo Malba Tahan [1895/1974, nome literário de Júlio César de Melo e Souza, professor e escritor, que se dedicou a questionar e a renovar os métodos de ensino, em especial, da Matemática; autor, entre outros de O homem que calculava]. Em 1961, reeditando textos do início dos anos 50, ele explica porque se apresenta essa Matemática absurda aos alunos. Foi criação dele o conceito de algebrismo, ".. esse acervo imenso de teorias intrincadas, problemas complicados sem a menor aplicação, cálculos numéricos trabalhosos, dos quais os estudantes nada aproveitam, questões cerebrinas fora da vida real, tudo, enfim, que o professor apresenta fora dos objetivos reais dessa ciência, com a finalidade única de complicar e tornar obscuro o ensino".

Para ele, a Matemática seria o oposto disso...
Obviamente, ele está querendo dizer que a Matemática não é nada disso, ao contrário é rica, é viva, cheia de significados. O algebrismo denunciado por Malba Tahan servia para eliminar candidatos nos exames de admissão, já que havia mais candidatos do que vagas. Seria preciso reprovar o maior número possível de pretendentes. Para essa finalidade arrasadora, a prova de Matemática era a que mais se prestava. O que está em questão agora é a metodologia do ensino da Matemática, herdada deste contexto. Tenho um artigo que trata disso - Professor do século 20, ensinando para jovens do século 21 com currículo do século 19.

Pode-se deduzir dessa frase que o currículo também é um fato social e, portanto, mutável?
O currículo tem que se ajustar às demandas sociais, tecnológicas e científicas do mundo atual. Tem que nos fazer pensar, inclusive, sobre o que é ser adolescente hoje. A criança não entra na escola sem idéias matemáticas. Ao contrário, ela chega com uma carga enorme de vivências e conhecimentos matemáticos e caberá à escola trabalhar com isso, aproveitar esse acervo para levá-la a conhecimentos mais altos.

Em suas palestras está presente a idéia de quatro mundos. Explique o que vem a ser isso.
Vou citar um episódio para explicar. Estava discutindo com professoras do primeiro grau um modo de tratar a numeração, a Geometria, de forma mais atraente, mais significativa, que levasse o aluno a atingir níveis mais complexos de pensamento. Uma delas perguntou-me: ''Quando é que eu vou formalizar?'' Na verdade, o que ela queria saber era quando começaria a falar o matematiquês. Percebi uma certa ansiedade nela em querer ser mais realista que o rei. Utilizei, então, essa idéia dos quatro mundos. Foi uma estratégia de comunicação para fazê-las perceber que não cabia a elas fazer certas formalizações.

O que são os quatro mundos ?
A Matemática existe na vida, na sociedade, pelo menos, de quatro modos distintos. Existe uma matemática que comporta um conjunto mínimo de ações, de fatos, de conhecimentos que o indivíduo comum deve ter. Aquilo que todos deveriam saber, não importa se for jornalista, marceneiro, matemático ou porteiro. Temos que dominar as quatro operações, medidas, ler gráficos, interpretar tabelas, calcular porcentagens, usar escalas, ter noções de probabilidade - uma coisa importante nesse mundo de pesquisas de opinião, loterias, prognósticos. Seria ótimo se as crianças pudessem questionar seus pais sobre o "investimento" que fazem em loterias, por exemplo.

Podemos dizer que o fato de as pessoas lidarem com as pesquisas eleitorais como se fosse um jogo, uma aposta no vencedor tem a ver uma incapacidade de lidar com esse conceito de probabilidade?
Incapacidade, não! O indivíduo comum tem estruturas cognitivas plenas para dar conta de pensar probabilisticamente. Mas isso tem de ser trabalhado, ele tem que aprender a olhar desse modo, organizar seu pensamento.

Retomando, como definimos esses conhecimentos básicos?
São conhecimentos não negociáveis, o pacote mínimo que é papel da escola trabalhar, embora parte dele os indivíduos aprendam na sua relação com o meio - é a matemática do dia-a-dia. Altamente utilitária. Mas a matemática não é apenas isso. Se formos justificar um currículo só pelo que é utilitário, jogaríamos fora mais da metade dos conteúdos. O que justifica escolhas, parafraseando Ubiratan D´Ambrósio [professor emérito da Unicamp, representante no Brasil do movimento da Etnomatemática], são motivos de natureza utilitária, cultural, formativa do raciocínio, sociológica e estética. Portanto, não se leva para a escola apenas o que vamos usar na rua. Se por acaso o teorema de Pitágoras não se justificasse pela utilidade, justificar-se-ia pelo estético, que, por milênios, encantou filósofos ou amadores na busca de sua demonstração. Pela sua história, pelo seu valor cultural.

Quem é responsável pela matemática do homem comum?
É papel da escola ensinar e organizar esta Matemática. E não se pode abrir mão disso. Mas existe uma outra matemática, porém, de que a escola não consegue dar conta no ensino regular. Eu chamo de matemática do mundo do trabalho. Existe uma especificidade de conceitos e técnicas que é usada numa profissão e se aprendem muito mais no dia-a-dia da profissão do que na escola. A escola prepara para ela, mas não dá conta de todos os aspectos relevantes e do conjunto de situações em que ela se aplica.

E há um terceiro mundo?
O mundo da ciência. Com outra linguagem, outros objetivos, outra sintaxe. A matemática que se faz nos institutos de Matemática chega a tal sofisticação que matemáticos vizinhos de sala não entendem o trabalho um do outro. São extremamente formais.

A formalização pretendida pela professora do seu exemplo...
Um formalismo que precocemente é cobrado na escola, no ensino fundamental. Se é na escola que os alunos devem ter contato com alguma matemática formal, não é papel da escola formar futuros matemáticos. É papel da escola dar condições àqueles que desejam desenvolver suas potencialidades. O professor de Matemática tem que pensar na formação de um indivíduo pleno, preparado para decidir seu futuro, e não um futuro colega. Essa deformação não é um problema só brasileiro, mas de muitos países.

E o quarto mundo?
É aquele estritamente escolar. Uma matemática com uma certa intencionalidade, organização, que considera o desenvolvimento cognitivo da criança, tem uma ordem ao trabalhar os conteúdos, que não é a ordem do formalismo matemático e nem necessariamente a ordem histórica. Neste mundo há certos conteúdos necessários, há que se decidir ênfases, caminhos e processos de mediação com recursos materiais como o material dourado, tangram, etc.

Mas essa adequação tem sua história e, hoje, contestam-se alguns desses conteúdos. Alguns conteúdos não seriam adequados para uma determinada faixa etária...
Muitas vezes a reação contrária vem da desinformação. Estamos vivendo um momento de discussão do Ensino Fundamental, uma nova pauta curricular. É normal haver mudanças curriculares. Se estivéssemos falando de biologia não haveria estranhamento, porque essa área é publicamente uma área de conhecimento em desenvolvimento. Está todos os dias nos jornais. O mesmo se passa com outras áreas. Imagine se é possível um livro de Geografia com o mesmo texto de dez anos atrás. Que aconteceu com a URSS ? Porque não aparece a Croácia ? Mas quando mudanças são propostas na Matemática, gera insegurança.

Como se ela fosse uma estrutura na qual não se pudesse mexer?
Um arcabouço fossilizado, uma ciência pronta e não um saber em desenvolvimento. Em 1994, foi demonstrado um teorema que estava sem solução há quase 400 anos. Há 20, construiu-se um objeto matemático chamado fractal. A Matemática é dinâmica e viva, está cheia de problemas abertos. É com eles que trabalho, explorando possibilidades dessa matemática instigante, que nos faz querer investigar, experimentar. Essa dinâmica é fundamental se quero formar o indivíduo que viverá o novo. Esse é um ponto importante: que desafio é esse de formar um indivíduo que vai enfrentar problemas para o qual ele não foi adestrado ? Que não sabe quais são ? Que não puderam ser previstos pelos manuais ?

Mas essa é uma consciência muito limitada ainda...
Muito. Esse movimento evolutivo da matemática não é reconhecido pela maioria. Mesmo por alguns matemáticos que, embora, no seu trabalho, tenham essa consciência, atuam como se isso não existisse.

Mexer com essa estrutura não gera insegurança?
As mudanças curriculares geram insegurança tanto pelo comodismo como pela falta de informação. Professores e pais ignoram a dinâmica do currículo de Matemática. Se os professores soubessem as razões pelas quais se ensinava divisibilidade na escola, talvez concluíssem que não é mais tão importante. Isso vale para muitos temas da matemática escolar, que tiveram uma funcionalidade, num certo estágio do desenvolvimento científico, matemático, mas que com o tempo ficaram obsoletos.

Por exemplo?
Há trinta anos, era importante trabalhar com as propriedades dos logaritmos. A tábua de logaritmos era a forma mais usual de fazer cálculos complexos. Hoje, ela nem é impressa, a tábua de logaritmos perdeu seu valor de uso nos quatro mundos de que falamos há pouco. Só tem valor histórico. Quando se quer calcular um logaritmo se usa uma calculadora. A ênfase ao ensino deste tema migrou para as propriedades da função logarítmica.

Fim das definições e receitas
(entrevista/continuação)

Não acontece de o pai olhar o livro do filho e achar que ele não está estudando, porque o conteúdo é diferente daquele de seu tempo de escola?
Acontece. Por isso, digo que é preciso formar os pais também. Eles têm que se atualizar para ajudar os filhos a enfrentarem as mudanças.

E o professor, como fica?
O professor que se formou em um tipo de matemática e depois não teve oportunidade de se aperfeiçoar, discutir visões metodológicas distintas, reproduz com seus alunos o que aprendeu porque acredita que deva ser daquele jeito. Há uma geração de professores sem referencial para refletir, que não acredita que poderia ser de outro modo. Ele aprendeu divisão de polinômios na sétima série, e acha que deve ensinar polinômios na sétima série. Muitas vezes não sabe que existem investigações sérias sobre desenvolvimento do pensamento algébrico, que mostram que certas operações com polinômios são inadequados nessa fase, precoces etc. Faz falta o conhecimento da história do currículo para compreender que as mudanças são necessárias. É preciso conhecer os livros antigos de matemática, acompanhar as mudanças para poder fazer uma crítica daquilo que vamos chamar de ensino tradicional. Trata-se de uma prática que tem características muito específicas muitas vezes inadequadas para a formação do indivíduo de hoje. Quem tem um filho adolescente sabe muito bem a capacidade que esses pequenos cidadãos têm para aprender por si, explorar um software, fazer pequenos programas. Hoje fala-se em habilidades, capacidades, é preciso estar atento a isso, pois o ensino tradicional da matemática acredita que o indivíduo aprende repetindo, repetindo, repetindo.

E não se aprende repetindo?
Aprende alguma coisa, mas não se prepara para aprender coisas mais complexas, sofisticadas. Os problemas do mundo real, do mundo das ciências não são aqueles problemas de um ou dois passos que aparecem nos livros, ao contrário, envolvem muitas variáveis e relações, são multiconceituais e exigem simultaneamente o trabalho com múltiplos procedimentos. O indivíduo tem que ser imerso numa diversidade de situações, estruturas distintas, linguagens diferentes. Na época do meu avô, aprender cálculo era resolver em um ano 4.500 contas. O que era o livro de álgebra em 1920? Um conjunto de definições e receitas que não garante um processo sólido de conceituação.

Mas a definição não ensina o que é?
Não garante. Essa é uma crença equivocada. Reajo bastante à idéia de que o indivíduo, uma criança ou adolescente aprende lendo uma definição. Um adulto já formado pode conceituar alguma coisa a partir de uma definição, desde que aquilo faça parte de seu universo. Caso contrário, é "javanês", não diz nada, não significa nada. Em muitos livros, acredita-se que, se dermos a definição de polígono para uma criança, ela vai conceituar polígono, mas existem investigações sérias que mostram que a conceituação não se faz por aí. Isso é um grande erro. Conceitos como ângulo não podem ser abarcados por uma definição, é um caso emblemático pois pode-se definir ângulo de pelo menos 4 modos distintos, cada um associado à uma idéia. Uma criança pode passar anos na escola lendo definições sem necessariamente conceituar o objeto "definido", a ação cognitiva de definir é algo mais sofisticado e importante, entretanto um indivíduo pode passar 11 anos na escola sem nunca ter tido a oportunidade de definir algo.

Você então é contra a memorização?
Não. Mas memorizar e decorar são coisas distintas. A educação matemática atual não é contra que se memorize, mas estuda e desenvolve processos de memorização que não sejam para os alunos um trabalho braçal, uma punição ao aluno, um conjunto de tarefas sem significado. É importante desmistificar isto. Uma secretária acaba memorizando os telefones que tem que acionar, pelo uso, pelo que têm de significativo no seu dia-a-dia, não porque ficou em casa decorando.

Nos anos 70, recebemos os primeiros livros da Matemática Moderna. Ela não era uma saída para o ensino tradicional?
Vamos pensar quem é o professor de matemática médio, hoje. Tem por volta de 37 anos, fez o primário no final dos anos 60, terminou o ensino médio nos anos 70 e foi, por isso, vítima de um tipo de padrão curricular marcado pelo movimento da Matemática Moderna, que chegou ao Brasil em 1961, foi bastante polêmica, hoje é moda criticá-la, embora tenha sido trazida por mãos sérias e com propósitos nobres. Mas o currículo estava impregnado mais das perspectivas dos matemáticos que dos educadores. Teve vantagens e desvantagens. A experiência da MM ampliou o fracasso escolar, porque carregou o currículo de conteúdos sem significado, deu ênfase na linguagem formal e no rigor. Uma das características da Matemática Moderna era pensar que, se déssemos os fundamentos da estrutura - conjunto, elementos, suas relações e suas propriedades - o aluno construiria o restante do edifício, como se fosse um algebrista puro da universidade. Mas a Matemática Moderna - e os puristas vão odiar isto - fez coisas boas. As expressões que tomavam o quadro todo, os chamados carroções desapareceram e isso foi bom. No entanto, a idéia que estava por trás do currículo da Matemática Moderna era a de servir para pescar alguns futuros matemáticos, e um currículo voltado para formar cientistas estava longe da matemática para todos que defendemos hoje. Só agora se tenta corrigir os desvios de então e assume-se que tratar do jeito que se tratavam tópicos como a teoria dos conjuntos no ensino fundamental é um tanto obsoleto.

Temos que acabar com a teoria dos conjuntos?
Não precisamos chegar a tanto, mas realmente não há nada de matemático em se pedir para uma criança enunciar o conjunto dos meses do ano que começam com a letra Z para ensinar o que é um conjunto vazio. A teoria dos conjuntos pode entrar no ensino médio, que já é mais formal. Mas para uma criança que chega cheia de vida numa quinta série, o professor falar em conjunto vazio, conjunto unitário...é uma bobagem. Isso as afasta das idéias fortes da matemática, que poderiam atraí-las.

Qual seria a teoria de ensino que daria conta da proposta de matemática para todos?
Sou flexível. Quando critico o ensino tradicional e a Matemática Moderna, isso não quer dizer que tenho no bolso uma terceira opção pronta para substituir as anteriores. Esse consumismo acrítico de teorias e metodologias me dá nos nervos. Há coisas significativas do ensino tradicional e do movimento da Matemática Moderna que devemos incorporar ou manter nos currículos atuais. Mas reafirmo que, infelizmente, o que ficou foi justamente o não significativo.

Dê um exemplo desta sua flexibilidade
Um exemplo de mesclagem que incorpora o que havia de bom nas duas fases do currículo de Matemática é no ensino do cálculo básico. O que é um indivíduo competente em cálculo, hoje em dia ? Não basta apenas as contas. têm-se que conhecer a estrutura dos algoritmos, as idéias das operações, as propriedades, utilizar isto para fazer cálculo mental e estimativas, e além disto, tem que saber usar uma calculadora. O indivíduo tem que saber em que situação ele deve usar o cálculo mental, quando ele pode usar com inteligência a calculadora, quando fazer uma estimativa. Proponho atividades de cálculo em que a calculadora potencializa o cálculo mental e as estimativas, além de levar os alunos a conhecer ainda mais sobre a estrutura dos números.

Dito desta forma, podemos imaginar o indivíduo mergulhado em uma rede de relações que exigem competências matemáticas...
Exato. Pegamos o exemplo do leitor do jornal. Ele pode ler as manchetes, o horóscopo, o horário do cinema. Mas, se quiser ir além, precisa pôr em relação aquilo que está sendo lido e, a partir dali, produzir novas informações. Podemos ter uma manchete: Ministro da Educação dá 200 mil reais para tal programa. Isso é uma informação que se pode consumir. Mas pode-se pensar qual seria a verba necessária para o projeto, quanto outros países dedicam a esse tipo de projeto. Ao final de alguns cálculos e relações matemáticas, podemos fazer uma avaliação positiva ou negativa daquilo que foi lido. O pensamento matemático deu a devida dimensão para a informação que não foi meramente consumida.

E essa perspectiva é mais acirrada nesta virada de século...
Os números pairam com muito poder sobre os indivíduos. As manchetes de jornal se legitimam pelo números. As autoridades se legitimam pelos números, pela quase certeza de que o indivíduo comum não dimensiona o que está ouvindo, vendo ou lendo nesses números e portanto não vai produzir informação nova. É incrível como se pode impor uma verdade, uma decisão usando matemática. A matemática porém tem seus problemas internos, ainda que eu a considere intrigante, saborosa até - não é à toa que é uma área do conhecimento que está na educação desde os gregos - ela não é absoluta, as vezes falha. Os premiados pelo Nobel de Economia em 1997, com um modelo matemático para previsão do movimento das bolsas de valores, faliram um ano depois com o próprio modelo. Há inúmeros modelos abertos em matemática, não se sabe se estão corretos, e mesmo que estejam corretos nem sempre são úteis. Seria interessante para o homem comum saber que existem muitas afirmações em matemática que não sabemos se são verdadeiras ou falsas, sem falar nos problemas formulados há anos mas ainda insolúveis. Estes problemas abertos da matemática poderiam estar sendo trazidos para a escola a fim de mostrá-la viva.

Um exemplo...
Qualquer número par maior do que quatro é soma de dois números primos. Dez é três mais sete, cem é 47 mais 53. Sempre que surge um computador com maior capacidade, os pesquisadores levam esse problema, que se chama Conjectura de Goldbach e está aí há 250 anos, mas não foi nem demonstrado, nem refutado. Outro exemplo: há 150 anos, um pesquisador lançou a hipótese de que não são necessárias mais do que quatro cores para colorir um mapa plano. Só em 1976, com um programa de computador, constatou-se, após se analisarem mais de mil mapas, que, realmente, só seriam necessárias quatro cores para não confundir um país com outro. Imagine o que o professor e seus alunos podem fazer com coisas interessantes como estas. E poderíamos trabalhar também com a matemática indígena, a matemática nas artes, nas questões sociais, aplicações. Com a matemática, o professor pode mostrar formas diferentes de ver o mundo.

Agora dá para entender porque você se vê como um militante da educação matemática...
Tenho tanta convicção de que uma matemática que leve em conta a humanidade, a vida, é maravilhosa, instigante. A matemática está chata é na escola. A matemática rica, viva, está sendo sonegada na escola, tanto nas públicas como nas particulares.

Podemos chegar a uma equação?
Sonega-se a matemática, exclui-se do mundo. Esquece-se que as crianças são pequenos cidadãos com deveres e direitos e precisam estar continuamente raciocinando - que é mais do que fazer contas, aplicar fórmulas -, fazendo hipóteses, avaliando variáveis, olhando a partir de muitos pontos de vista. É isso que chamo de cidadania cognitiva.

 
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