O autor >> Artigos >> Publicados >> Números Figurados

Números Figurados

Há muitas coisas interessantes que se pode fazer no estudo dos números figurados no ensino fundamental. Muitos perguntam, "porque estudar números figurados no ensino fundamental ?", afinal a maioria dos professores estudou, na sua formação escolar ou universitária, apenas os números quadrados e cubos perfeitos. Deve-se ter em conta que o estudo de padrões e regularidades aritméticas, figurais ou algébricas, está sendo proposto como objetivos a serem atingidos na maioria dos currículos implantados de países de todo o mundo, o Brasil incluído. Nesses programas curriculares, se almeja que os alunos observem relações entre variáveis, descrevam e criem uma ampla gama de padrões, com a finalidade de dar um sentido matemático importante à idéia de generalização. Estudos recentemente apresentados em congressos de Educação Matemática, comprovam que os alunos aprendem álgebra com mais eficácia e sem os traumas de outros tempos em que as regras eram aplicadas mecanicamente sem se saber bem o porquê do que estavam fazendo. O trabalho com números figurados (triangulares, quadrados, poligonais, piramidais), além de possibilitar uma aplicação mais interessante de fatos e regras algébricas (produtos notáveis, fatoração, potências, etc..), desenvolve as capacidades de visualização, argumentação e o raciocínio algébricos dos estudantes e explicita as ricas conexões entre as várias sub-áreas da matemática (aritmética, álgebra, geometria, ..). Contribui ainda para preparar os alunos para o estudo de temas mais complexos que serão estudados no ensino médio como funções, seqüências, PA, PG. 5ª ou 6ª séries: observar configurações figurais, completar as seguintes, predizer a quantidade de uma certa configuração. Aqui o professor pode dispor de imagens (desenhos ou fotos) de pilhas de latas em supermercado, pilhas de laranjas ou melancias na feira, pilhas de bolças de canhão (desenhos antigos), bolas de bilhar arrumadas no triângulo de madeira (equilátero), etc.. Depois de observar cada seqüência os alunos são convidados a desenhar a próxima figura da seqüência, e a próxima após esta, e ... Uma atividade mais complexa que pode ser proposta a seguir é pedir que os alunos determinem - sem fazer uso de desenhos - quantas bolinhas (pontos, laranjas, ... dependendo de como é composta a figura) tem a configuração de ordem 10, aquela que ocupa o 10o. lugar na seqüência. O professor deve orientar perguntando e registrando as estratégias que os alunos vão utilizar para responder esta questão. Nas escolas que orientamos e estudamos como os alunos resolvem problemas recolhemos várias as estratégias engenhosas e que tem relação com o se passou na história da matemática: Números quadrados : os alunos observam que os números consecutivos da seqüência ( 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ...) diferem um do outro de respeitando uma regularidade que forma uma subseqüência dos números ímpares ( 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ...) +3 +5 +7 +9 Determinam o próximo termo somando 16 + 9 = 25 Uma parte do grupo pode perceber e enunciar a propriedade multiplicativa dos quadrados perfeitos: 1 = 1´1 ; 4 = 2´2 ; 9 = 3´3; 16 = 4´4 ; .... Números triangulares: Não é difícil que percebam a relação aditiva entre os termos consecutivos ( 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; ..) ( 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; ...) +2 +3 +4 +5 Assim não é difícil determinar o próximo número triangular somando 10 + 5 = 15 Achar um número triangular a partir de relações multiplicativas não é muito usual nestas séries. Se achar que o grupo responde satisfatoriamente o professor pode propor um trabalho de investigação para ser feito casa, determinar o número de pontos da figura de ordem 100. Em relação à este problema vale a pena apresentar a história que se conta sobre o jovem Gauss (veja problema 1) 7ª e 8ª séries: Nestas séries os alunos já dispõem de um ferramental algébrico e estão em condições de justificar as descobertas propostas para os alunos das séries anteriores. Pode-se propor que os alunos demonstrem a partir de figuras e da linguagem algébrica a) A fórmula Iterativa: Q(n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) Acompanhe a exploração, analisando a figura 2. Considere a seqüência dos n primeiros números ímpares, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n-1), se retiramos uma unidade de cada um, geramos a seqüência 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n-2). Vamos guardar os n elementos que retirados do meio do triângulo (aqui representados pela coluna vermelha do triângulo). Como todos os termos da seqüência obtida são números pares, podemos escrever desse modo 2 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)), na figura 3 está representado através de dois triângulos (azul claro e azul esverdeado) de ordem (n-1). Combinando os dois triângulos T(n-1) com os n elementos guardados (coluna vermelha) obtemos, o quadrado Q(n): 2 x T(n-1) + n = (n-1) x n + n = n2 - n + n = n2. Confira para o caso de n = 8 (fig. 2 e 3) T(8) = 1+3+5+7+9+11+13+15 T(8) = 2 x T(7) + 8 = 2´28 + 8 = 56 + 8 = 64 Prove o teorema T(n) + T(n+1) = Q(n+1) demonstrado por Nicomaco no séc. I Fórmula Recursiva: T(1) = 1 T(2) = 3 à T(1) + 2 = 1 + 2 = 3 T(3) = 6 à T(2) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 T(4) = 10 à T(3) + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ... T(1) = 1 T(n+1) = T(n) + (n+1) Uma outra demonstração ainda mais simples pode ser explorada como aplicação dos conhecimentos dos alunos de fatoração e produtos notáveis. n2 + (2n+1) = (n+1)2    [Você encontrará as demonstrações destes fatos no capítulo 7 do livro 7, da coleção Matemática Hoje, referida nas fontes.] Problemas e Histórias da Matemática Diz a lenda que Carl Friedrich Gauss (1777-1855), quando tinha 10 anos, era um garoto bastante irrequieto, como muitos de nosso alunos. Um dia seu professor a fim de garantir que o jovem Gauss e seus colegas se acalmassem para que pudesse corrigir umas provas, propôs que calculassem a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos : 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de mantê-los quietos por algum tempo. Foi tudo bem até o terceiro minuto quando então o pequeno Gauss apresentou sua resposta escrevendo simplesmente o número 5050 no caderno. O procedimento de Gauss era bastante engenhoso, ele escreveu a série de 1 até 100 e em baixo escreveu a mesma série do 100 até 1. S       = 1     +    2    +    3    +  . . . . .  +    98    +    99  + 100 S       = 100 +   99   + 98     + . . . . .   +   3       +     2   + 1 2 x S = 101 + 101   + 101   + . . . .     + 101     + 101   + 101 Concluiu que 2 x S = 100 x 101 = 10100, e que a soma pedida, portanto correspondia à metade: S = (100 x 101)¸ 2 = 5050 1) Use o mesmo método do jovem Gauss, para determinar a a soma dos 60 primeiros números positivos 2) Determine a soma dos 20 primeiros números pares positivos. 3) Calcule a soma dos 10 primeiros números ímpares.O que você concluiu ? 4) O mesmo Gauss já adulto afirmou em 1796 que qualquer número positivo pode ser obtido como soma de três números triangulares. (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36...).Para que casos a afirmação não é válida ?Escolha um número natural qualquer maior do que 10 e menor do que 100 e escreva-o como soma de três números triangulares. Torneios 5) O regulamento de um torneio de futebol diz que cada equipe joga com cada uma das outras uma única vez. O campeão será o time que fizer o maior número de pontos. Quantos jogos serão realizados se o torneio tiver 4 times inscritos ? E se forem 12 times ? Determine o número de jogos para 20 times. 6) O torneio internacional de xadrez reuniu os melhores grandes mestres da atualidade. No torneio todos jogaram contra todos uma única vez. Foram realizados 105 partidas. Quantos foram os jogadores ? 7) Dizem os especialistas que campeonato ideal para o futebol brasileiro deveria constar de 20 times jogando turno e returno, ou seja todos contra todos, uma vez no seu campo e outra no campo do adversário. O campeão seria o time que fizer mais pontos. Quantos jogos teria este campeonato ? Beijos, danças e apertos de mão 8) Na festa da Alice toda a turma tem o hábito de ao chegar beijar todos que estão na festa. Ao todo 40 jovens estiveram na festa. Quantos foram os beijos de chegada? 9) Já na festa da Bia na hora da dança todo mundo dançou com todo mundo sem preocupar em formar pares de menino-menina. No final das contas cada colega dançou com todos os outros, uma única dança. Foram contados ao 190 duplas dançando durante toda a festa. Quanta gente foi à festa ? 10) Na inauguração do Departamento de Papéis, Papeladas e Papelões da Secretaria Municipal da Burocracia, as autoridades presentes cumprimentavam se com um aperto de mão assim que iam chegando. Cada pessoa cumprimentou todos os presentes apenas uma vez durante a solenidade. Quantos foram os apertos de mão, sabendo que compareceram ao evento 100 pessoas ? Diagonais e intersecção de retas 11) Que relação tem o cálculo do número de diagonais de um polígono e os números triangulares ? 12) Duas retas no plano produzem no máximo 1 ponto de intersecção; 3 retas no máximo 3 pontos de intersecção. Quantos pontos no máximo 10 retas podem produzir no mesmo plano ? Fontes: 1) Matemática Hoje é Feita Assim, Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD. A maioria dos textos e atividades foram extraídos dos livros da coleção : 5ª série (cap.5); 6ª série (cap. 7); 7ª série (cap. 7) e 8ª série (cap. 6). 2) Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática publicados pela Secretaria de Educação Fundamental do MEC, 1997 e 1998. 3) Programas e diretrizes curriculares das Secretarias Estaduais de Educação.