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Gestão de interações e produção de conhecimento matemático em um ambiente de inspiração lakatosiana.

Centro de Educação Matemática-CEM / PUCSP Doutorando da Universidade Autônoma de Barcelona-UAB Está na ordem do dia entre professores e pesquisadores a questão das interações na aula e sua gestão pelo docente. Este artigo faz uma leitura das ocorrências de uma aula que gerou uma produção coletiva de qualidade. De nosso ponto de vista tal qualidade é ancorada em uma visão sobre gestão e na arquitetura de um ambiente de inspiração lakatosiana, também chamado ambiente de verdades provisórias. O relógio da classe marca 11h55, horário da última aula da 6ª série A , o professor aguarda dentro da classe seus 35 alunos, que vêm da aula de Educação Física em pequenos grupos. Há duas aulas o grupo vem estudando ângulos através de abordagens e contextos diversos. Estudaram o formato ideal das quinas das bandejas de restaurantes de quilo de modo que o encaixe fosse adequado; construíram transferidores a partir de dobraduras de discos de papel e, desde a última aula, investigam uma questão que surgiu a respeito de ângulos que se movem, objeto da aula que será aqui analisada. A proposta de estudar os ponteiros de um relógio analógico surgiu naturalmente. Uma lição de casa proposta pelo professor deu partida às investigações dos alunos. Cláusulas de um Contrato Faz parte do contrato e da cultura do grupo, construída ao longo de um ano de trabalho, a formulação de problemas e proposição de conjecturas que são objeto de investigação tanto como lição de casa como no posterior debate em classe. O contrato didático vigente na maioria dos sistemas de ensino mantém a "responsabilidade matemática" exclusivamente no professor em lugar de compartir progressivamente uma parte desta responsabilidade por explorar, argumentar, validar. 13 de abril de 1995, são 12h00, todos dentro da sala de aula. O professor percorre as carteiras enfileiradas fazendo a devolução das lições feitas, comentando-as. Esses registros têm a função de marcar a presença do adulto-docente no controle dos combinados (contrato explícito), ritualizam alguns dos momentos da avaliação contínua. P: Bom dia turma. Vão sentando e abrindo o caderno de geometria. O professor se desloca pela sala, acelerando a preparação do material sobre a mesa. A1: Eu fiz a lição de casa viu. P: É o que eu esperava. E que tal a lição ? Foi bom fazer ? A1: Foi. Lição de casa: A lição de casa, embora não seja uma característica do chamado "ambiente lakatosiano" (citado por Raffaella Borasi, 1991), no contexto aqui descrito tem função atitudinal importante voltada para aquisição de responsabilidade e desenvolvimento de autocontrole em atividades de enfrentamento e exploração de problemas abertos possibilitando reflexão individual em ritmo próprio. P: Levantem a mão aqueles que fizeram a lição de casa. Um pouco mais de 4/5 da turma levanta a mão, enquanto isso o professor pergunta a cada um, quantos minutos levou para fazer a tarefa. A1: 5 minutos A2: 4 minutos A3: Eu levei 8 minutos. P: Olha aí, no máximo 8 minutos, qualquer desculpa do tipo "não deu tempo", não pode ser aceita. Ambiente de inspiração lakatosiana: As características das situações no, aqui chamado, ambiente de inspiração lakatosiana que consideramos inicialmente (além do que o proposto por Borasi) são: · Facilitar o processo de conjecturação · Promover um desenvolvimento sempre aberto · Estimular provas e refutações · Desenvolver uma postura flexível frente à certeza e, principalmente, às incertezas · Buscar um desenvolvimento lógico-dedutivo para todos · Construir conhecimento desconhecido a priori. · Explorar situações que os alunos tenham condições cognitivas para compreender e enfrentar. A interação correspondente: · Facilita (privilegiando) a produção coletiva paralelamente à individual · O mestre atua como maestro que interpreta e conduz evitando transmitir. · Fomenta a autonomia acima da competência · Desenvolve, privilegiando, o trabalho cooperativo · Cria ambigüidade e conflito alternativo ao status quo das situações bem comportadas de final previsível. Se considera um autêntico problema, no sentido de que são satisfeitas varias condições, ampliando o sugerido por Charles, 1988, pois: · Supera a idéia de rotina algorítmica · A tarefa não se fecha a uma resposta única · Não se privilegia a estratégia única · Promove obstáculos e desafios · Gera um processo de novos interrogantes · Aproveita os vários modos de comunicação gerados · Provoca auto-reflexão significativa O professor escreve no quadro o problema original, proposto na aula anterior, que consiste em: Determinar o ângulo formado pelos ponteiros do relógio, quando marca: a) 7h20 (hora da entrada) b) 10h40 (hora do parque) c) 12h45 (hora da saída) d) A hora em que você nasceu. De simples respostas a problematização Trata-se de um problema clássico, em geral explorado em séries mais avançadas (7a., 8a. ou 1o. colegial) com a famosa componente da "pegadinha" ou "artifício". Apesar deste aspecto, há outros motivos que fizeram desta, uma atividade instigante e interessante para os alunos, despertando curiosidade e provocando desafios. Um dos fatos que chamou a atenção do professor é o de que a maioria dos alunos não dispunha de um relógio analógico (de ponteiros) e sim relógios digitais (que marcam os números que indicam as horas e os minutos). Os alunos são encorajados a ir ao quadro para expor suas soluções. O professor alterna as falas dos alunos que fizeram a lição com aqueles que não a fizeram, a fim de inserir esses últimos no ambiente de trabalho, de modo que não se sintam ou fiquem marginalizados. Além do fato de que a discussão em sala de aula, neste caso, não depender exclusivamente do que foi produzido em casa. Flávio explica seu método, no caso em que o relógio marca 7h20. F: Faz de conta que é um círculo. Diz sorrindo, após desenhar uma curva disforme. Faz ajustes na curva para que ela pareça o mais possível uma circunferência. Faz as marcações das horas colocando na ordem 12, 3, 6 e 9, faz em seguida as marcações do 1, 2, 4, 5 e 7. F: Deu 110o. P: Como você chegou a este resultado ? F: Eu desenhei e medi. P: Pessoal. O Flávio desenhou e mediu, como vocês chamariam este método. Ai: Método experimental. Dizem 2 ou 3 alunos. Experimentação e prova Os alunos desse grupo distinguem uma prova experimental (que convence) de uma prova baseada em argumentos lógicos. Tal distinção foi institucionalizada, há 2 semanas, a partir das discussões que se fizeram acerca dos métodos explorados que convencem e os que validam o fato de que "a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o". P: Alguém resolveu através de um método não experimental. G: Eu. Diz Gabriel com o braço levantado. Gabriel aproveita o relógio desenhado por Flávio e explica G: Cada hora vale 30o. Explica mostrando com a mão apontando a abertura entre 4 e 5. G: É mais que 90o por que o ponteiro das horas anda para a esquerda. P: Anda quanto ? G: Olha eu vi que cada 2 minutos correspondem a 1o, no ponteiro das horas. 20 minutos andam 10o. G: Então dá 100o. A: Não entendi. Fala uma aluna da fileira da esquerda. G: 90o que já era, mais 10o que o ponteiro das horas andou, dá 100o. Explica Gabriel mostrando com a mão e com o giz, simulando o movimento dos ponteiros do relógio. Ian, com a mão levantada, se oferece para descrever seu método. I: Se o ponteiro das horas não se mexer, 7 e 20 fazem 90o. Mas como o ponteiro dos minutos andou 20 minutos, isto corresponde a 1/3 de hora, então o ponteiro das horas vai andar 1/3 de 30o, que é 10o. Do fundo da classe Flávio problematiza. F: E se for 7 horas e 14 minutos ? I: Vai dar quebrado, os graus vão ser fracionados. O professor procura "ler" o pensamento e as hipóteses de Flávio. Supõe que ele compreendeu o método do Ian, mas conjecturou que tratava-se de um método que só poderia funcionar com frações "bem comportadas", ou seja, aquelas cujos denominadores são divisores de 60. Enquanto isto a classe é solicitada a resolver o problema das 10h40 através do método do Ian. Flexibilidade: Uma parte ritualizada do trabalho neste ambiente é propiciar que os alunos se coloquem do ponto de vista de seus colegas, desenvolvendo uma certa flexibilidade no pensamento. Assim, a atividade passa a ter uma forte componente metacognitiva com objetivos de natureza atitudinal. O gestor fundamental da atividade está sendo o grupo, enquanto o professor cumpre seu papel como catalisador. Muitos alunos se candidatam a resolver verbalmente ou indo ao quadro. Depois de alguns exemplos mais, o professor está seguro de que o método do Ian foi dominado pela maioria do grupo. P: Alguém tem um outro método para expor ? Maria, com a mão levantada, inicia sua explicação sobre como determinou o ângulo formado pelos ponteiros do relógio na hora em que nasceu. M: Num relógio, entre uma hora e outra, tem 5 risquinhos. Maria tenta mostrar um relógio em que estão marcadas as horas cheias, e há marcações para os 60 minutos na volta completa. O professor deixa a explicação correr e não corrige o equivoco sobre o número de risquinhos que marcam os intervalos de minuto, são 4 e não 5, entre dois números consecutivos no mostrador do relógio. M: A distância entre cada risquinho ... Ela está se referindo à distância angular que, entretanto, ainda não foi conceituada como distância. M: . . é 5o, porque 30o dividido por 6 dá 5o. Embora não verbalize, Maria assume a relação que faz com que 5 risquinhos determinem 6 intervalos. M: Para achar, por exemplo, o ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando este marca 6:20, eu somo 30o + 30o que dá 60o, mais o que o ponteiro das horas andou para a esquerda, como são 6 intervalos, cada intervalo de 5o corresponde a 10 minutos percorridos pelo ponteiro dos minutos,... como são 6:20, então o ponteiro das horas avança 10o. 60o + 10o = 70o. Pensar e falar No entusiasmo de uma fala que está sendo pública os alunos, se perdem no controle do que estão falando. O pensamento é mais rápido que a fala. Os argumentos se encadeiam e, por serem enunciados oralmente, não podem ser controlados com o refinamento de uma leitura. Na explicação de Maria repercute o pequeno erro de desatenção inicial, não captado pelo grupo que, ante as argumentações feitas de modo seguro pela colega, não fazem comentários. Neste momento o professor poderia lançar mão de alguma estratégia de gestão na direção de uma situação de autocorreção, entretanto, embalado pelo ritmo imposto pelo grupo, dá sequência às inquirições acerca do problema do ângulo formado pelos ponteiros na hora do nascimento. P: Em que horas você nasceu ? A1: 10:30. P: Qual é o ângulo correspondente ? A2: 135o A3: 9:05. . . P: E o seu ? Gabriel com olhar maroto, não fala as horas em que nasceu. G: Eu nasci quando tava 100o. Gabriel (em geral pouco participativo) mostra que captou e incorporou um dos objetivos procedimentais do curso de geometria, que é o de problematizar, jogar com os cenários e situações de desafio. Ademais sua postura põe acento em um aspecto importante da resolução de problemas que é o de explorar a situação inversa à do ponto de partida.. Num contexto mais "tradicional" os estudantes teriam dito a hora de seu nascimento. Aqui todos calam. Há um contrato assumido de que o ambiente de problematização não deve desvelar as respostas gratuitamente. Ciente disso o professor devolve para a classe o novo problema. P: Turma. Quando o Gabriel nasceu os ponteiros do relógio formavam um ângulo de 100o. Em que hora ele nasceu ? G: 7:20. Afirma Gustavo. P: Como você chegou à esta resposta. G: Nós acabamos de resolver o problema dos ângulos que os ponteiros fazem quando é 7:20 e o resultado foi 100o. P: EEpa. Sabemos que a solução apresentada pelo Gustavo é verdadeira, mas ela não foi objeto de prova imediata. Gustavo incorporou uma informação pela memória e atenção, usou essa informação como referência para a solução de um problema novo. O professor não perdeu a oportunidade de explicitar o procedimento de Gustavo valorizando-o. Explicitação Explicitação, iluminação de caminhos, desvelamento do que ocorre são marcas características desse trabalho, registram os saltos produzidos. Porém o professor, nesse ambiente de inspiração lakatosiana, não deve dar por terminada uma conversação tão interessante. Há que seguir indagando, sem "cortar" o tema como: "Gabriel, diz-nos a que horas nasceste para que tiremos a dúvida". Ademais podem surgir perguntas mais interessantes e não tão específicas como resolver o ângulo das 7:14 hs. Em seguida o professor intervém legitimando uma proposta de um aluno (A1) e reformulando para o grupo um problema mais geral como o de saber se a relação entre posição horária e medida angular é biunívoca. A1: Mas como podemos saber se não era uma outra, a hora em que os ponteiros fizeram 100o? Indaga um aluno. P: Êpa ! Se suspeitamos que existem outras "horas" que fazem o mesmo ângulo não é possível ter certeza sobre que horas nasceu o Gabriel. Responsabilidade O professor deve provocar uma saída para a tendência a pensar que um exemplo crucial, no sentido dado por Balacheff (1987), serve para contrastar situações necessárias e suficientes. Porém no ambiente de inspiração lakatosiana, essa responsabilidade também é assumida pelo grupo. Os olhares do grupo indicam o reconhecimento de que há um novo problema importante para pensar. Porém Guilherme, que não acompanhava esta parte da discussão, entretido, que estava com suas hipóteses, afirma: G: Só os ângulos 90o e 180o se repetem. Guilherme está conjecturando que no intervalo de 12 horas os ponteiros ocupam as infinitas posições angulares no giro de 180o, repetindo a mesma medida duas vezes. Gabriel está calado. Só ele tem o segredo da hora em que nasceu e das questões suscitadas pelo seu desafio. Ele aprecia a dinâmica do grupo na tentativa de desvendar o mistério da hora de seu nascimento. Enquanto os alunos registram as várias soluções, indagam ao professor e a seus colegas a respeito de alguns fatos ou curiosidades observadas. A1: Se o ponteiro das horas anda, então nunca vai dar ângulo reto ? A2: Vai sim. As 3 horas os ponteiros fazem 90o. Afirma um aluno. A3: Às 9 horas também. Arremata outro. Neste momento, alguns alunos se movimentam na colocação de suas proposições. Os ângulo retos mais "óbvios", na percepção imediata dos alunos, são os que indicam 3 e 9 horas. Alguns segundos depois alguns alunos arriscam outras horas candidatas angulo reto: 6h15; 6h45; 3h30 e 9h30. 3 ou 4 alunos contestam simultaneamente, estes últimos como ângulos retos. Estas discussões estão acontecendo em duplas ou pequenos grupos de 3 ou 4 alunos. Trabalho cooperativo A investigação recente sobre aprendizagem da matemática, afirma que os alunos trabalham melhor quando compartem com seus colegas. Enquanto isto o professor atento ao debate e ciente de que algumas falas podem se perder, vai colocando no quadro negro sua versão das proposições feitas incluindo as refutações a proposições formuladas. Ele está exercendo sua função de socializar as proposições locais para acelerar (nesse caso) a geração de contra-exemplos, porisso registra a "propo Gui" ainda que saiba que está equivocada. 1. Propo Gui: "Só os ângulos 90o e 180o se repetem num intervalo de 12 horas." Gustavo com a mão levantada refuta. G Eu tenho um contra-exemplo ... Explica enquanto o professor escreve no quadro. 2. Contra-exemplo do Gustavo à propo Gui: "5:00 hs. e 7:00 hs. fazem o mesmo ângulo". Ambiente de verdades provisórias Nos contextos tradicionais, não é natural que os alunos e alunas façam seus próprios registros, a fim de controlar os eventos da aula. A cultura do registro é marca singular de nosso ambiente de verdades provisórias, com o tempo os alunos passam a valorá-lo, incorporando-o a seus acervos de hábitos e modos de organização pessoal. A lousa (quadro-negro) ocupa o lugar importante como registro social intermediário, antes de passar ao caderno pessoal. Nas práticas tradicionais a lousa é receptáculo de verdades estabelecidas pela comunidade matemática, impressas nos livros didáticos e sacramentadas pelo professor. Em nosso ambiente, o status de verdade é dado pelo grupo após debate e problematização. Evita-se a apresentação de verdades a priori, sem exploração e discussão. Empenha-se em documentar o mais fielmente quanto possível o processo que levou à produção dos conhecimentos pelo grupo. problema semente ® proposição (conjectura) ® experimentação ® prova ou contra-exemplo ® nova conjectura ® experimentação ® Os alunos estão familiarizados com a dinâmica de trabalhar num ambiente de verdades provisórias, onde proposições fracas, proposições fortes e exemplos vão sendo produzidos, confirmados ou refutados através de contra-exemplos alimentando assim a dinâmica de produção de conhecimentos em aula. Luíza, uma aluna que não tinha feito a lição de casa, levanta a mão para comunicar sua observação. L: Também as 4:00 hs. e as 8:00 hs. fazem o mesmo ângulo ... e as 3:00 hs. e as 9:00 hs. também, e assim por diante. O professor se dá conta que é um momento importante da aula, pois Luísa raramente se manifesta, introspectiva mantém relação pessoal com um restrito grupo de amiguinhas, entretanto, movida pela significatividade da situação, manifestou-se pela primeira vez no ano letivo. Está claro que a partir de um certo momento o grupo adota implicitamente o dia de "12 horas", dadas as características do relógio analógico. O professor não perde tempo, dá visibilidade às contribuições de Luíza, registrando sua fala formatando-a, como tabela. 3. Contra-exemplo geral da Luíza: "Há vários outros ângulos que se repetem no intervalo de 12:00 hs. 1:00 ------- 11:00 2:00 ------- 10:00 3:00 ------- 9:00 4:00 ------- 8:00 5:00 ------- 7:00 P: Olha pessoal pense neste contra-exemplo geral da Luíza. Neste momento os olhos do professor não conseguem esconder sua apreciação pela descoberta de Luíza, que reage com um tímido sorriso de orgulho. É a primeira vez que seu nome vai para o quadro e daí para o caderno dos colegas na forma de proposição. O caderno O caderno, é o espelho da produção do grupo. O livro de multi-autoria que vai sendo escrito ao longo do ano. Funciona como um "caderno de campo" que o aluno cuida e utiliza para registro, consulta e investigação. De modo geral, todos desejam que seu nome apareça no quadro-negro nomeando alguma proposição ou método, tal como os matemáticos profissionais quando são citados ou nomeiam teoremas. P: Alguém consegue formular uma proposição mais geral que esta ? Balburdia ... movimentos e excitações.. Muitos falam ao mesmo tempo. O professor vai regulando para garantir que todos possam argumentar e ouvir os argumentos dos outros. A1: AH! ... é que se ajusta igual ... Diz um aluno mostrando com a mão. A1: ...em relação ao eixo das 6:00 hs. A2: É que ... L: É simétrico .. Diz Luíza pensando em voz alta e com o olho fixo no relógio. O tom de sua voz realça sua convicção. O professor sugere que pensem centrados no contra-exemplo registrado no quadro negro. Há uma regularidade que pode ser percebida pela leitura e disposição dos dados. Luíza tem uma hipótese baseada na geometria do relógio, numa simetria, ainda não percebeu uma relação aritmética na sua própria descoberta. Os alunos continuam se manifestando entusiasticamente, formulando caóticas e legítimas explicações sobre algo que o professor sabe que eles sabem, embora tenham dificuldade para verbalizar. Até que o Gustavo arremata. G: Soma doze. P: Ahá. Touché ! Por um instante cessa o movimento, num longo silêncio de fração de segundo. Aqueles 70 olhos fixos no contra-exemplo da Luíza, escrito no quadro, explodem de tanto brilho para enfim espalhar um harmonioso e espontâneo - AAAAAH! - por toda a classe. Como quem diz: "Mas é claro, porque não pensei nisso antes ?" Em nosso ambiente de inspiração lakatosiana o professor regula as ações a fim de garantir que a maior parte possível dos alunos possa argumentar e ouvir os argumentos dos demais. Para institucionalizar certas regularidades, uma sugestão efetiva é situar estrategicamente os dados, porém nunca ser portador de uma solução imediata. Ademais, se há que reconduzir algo, deve ser a partir do surgido no grupo. Tomada de decisões Que teria ocorrido se não se não houvesse situado os dados na lousa de forma que se visualize uma propriedade funcional (h1+h2=12) ? Usando uma forma conhecida semelhante à uma tabela, a regularidade poderia ser percebida por uma simples leitura. Diversas investigações tem mostrado como nem sempre se descobrem imediatamente regularidades aritméticas e a percepção visual domina muitos casos. Neste momento de diálogo, em meio a diversas propostas "importantes" aparecem outras respostas caóticas inclusive explicações legitimas sobre algo que o professor sabe que os alunos reconhecem ou podem reconhecer, ainda que tenham dificuldades em verbalizar. Porisso há que esperar o tempo passar até que apareça uma resposta como a de Gustavo. Ante o ocorrido, o professor decide intervir no rumo. Era importante concluir. Um período importante havia se fechado, além do fato de que restavam poucos minutos para o fim da aula. - AAAAAH! O grupo tem grande prazer em ter participado da descoberta de algo inicialmente complexo e finalmente simples e "engenhoso". O professor retoma a questão, pendente, sobre a hora em que Gabriel nasceu. A1: 5:40 .. não, não, é . . é . . A2: 4:40 Arrematam 3 ou 4 alunos sem dar tempo para os outros 3 ou 4 concluírem. P: Gabriel a que horas você nasceu ? O relógio da classe marca 12:45 (hora da saída). G: 4:40. Diz com um sorriso de satisfação por ter gerado toda aquela rica discussão. Comentários finais As 12:46 o grupo vai desarmando seu acampamento de produção matemática. Dispersam-se, arrumam suas malas, vão saindo e conversando, alguns comentando as descobertas da aula como um gol marcado na partida de futebol. O professor, já com sua mala nas costas, se despede da turma pensando: "Humm !! ? Será isto mesmo ? Então num intervalo de 12 horas um certo ângulo a, formado pelos ponteiros do relógio, ocorre em dois horários distintos t1 e t2, com t1 + t2 =12 hs. Ë isso ? Não, . . . talvez, sejam 12 os "tempos" que fazem o mesmo ângulo a . . . ?¿?¿ O ocorrido e aqui analisado é comum neste ambiente de inspiração lakatosiana. "Não havia pensado" ou "não estava preparado" são frases importantes e a surpresa (como para Freinet) é algo crucial, inclusive para o professor. É o vento fresco de uma gestão agradável. A qualidade do resultado da produção coletiva é tão claro que o professor decide registrar imediatamente os eventos da aula no calor de sua realização com a finalidade de apresentar aos alunos, atores e autores dos fatos registrado, a fim de que reconheçam os elementos e os momentos chave problematizadores. É como assistir o vídeo do teatro em que cada aluno foi protagonista. Uma das característica da gestão neste ambiente é deixar que os estudantes desenvolvam o trabalho com flexibilidade e sem imposições para chegar sempre a um final ou resultado, que se interpreta pelos alunos e alunas como esperado pelo professor. Contudo, há uma visão curricular que valoriza em cada momento se o que se disse está longe ou não de um objetivo importante do curso. Os alunos não foram constrangidos a utilizar um modelo fechado os problemas estudados através de estratégias algébricas ou regra de 3. Tudo isto é secundário. Neste tipo de trabalho a produção que temos conseguido nos parece que é mais que uma investigação humanística (em palavras de Borasi, 1991). Com efeito, o erro não é usado apenas como fonte de reflexão mas também como objeto de conhecimento, ainda que provisório (Lopes, 1987), mas principalmente como promotor de uma reflexão metacognitiva de alto nível - mesmo nas séries iniciais - provocando legitimação do trabalho de descobrimento do grupo. Assim, as características da produção matemática conseguida são: Reflexão generalizada (quase a totalidade da classe) baseada no contraste e na problematização contínua Se assume os elementos da responsabilidade do professor Se considera como produção autônoma e pessoal O grupo se considera produtor de conhecimentos, e não apenas um coadjuvante consumidor de fatos e regras. Do ponto de vista das interações, se conseguiu que: A intervenção de baixo nível tende a desaparecer Os alunos aumentam seu nível de implicação porque são reconhecidos Se aceita e distingue a produção relevante da que não é Se integra a categorização e organização do conhecimento O docente atua como catalisador e organizador e não como confirmador e distribuidor de verdades. A sala de aula é o laboratório de matemática, um laboratório que prescinde de objetos materiais. As idéias, proposições, conjecturas, refutações, validações e explorações diversas constituem-se como a matéria prima desse laboratório. Este texto é conseqüência de três momentos do autor: (1) vivencial (algo que ocorreu); (2) documental do docente (que registra o que ocorre); (3) investigador-socializador (que permite analisar o que ocorreu inclusive com os próprios alunos e alunas). A sala de aula real é complexa (dinâmica, diversa, etc.) e, com tal quantidade de elementos comunicativos que nem todos podem ser detectados. Se referiu aqui a muitas informações assim como de outras se perderam. Para o docente-investigador é importante a tarefa de reflexão-documentação de seus trabalhos, porque permite mudanças em sua docência. Referências Bibliográficas Borasi, R. (1991) Learning mathematics through inquiry. Portsmouth. Heinemann. Cardoso, V. C. (1997) As teses falibilista e racionalista de Lakatos e a Educação Matemática. Dissertação de mestrado. UNESP-Rio Claro. Charles, R. et alii (1988) The teaching assessing of mathematical problem solving. Reston NCTM. Davis, P & Hersh, R. (1985) A Experiência Matemática. Rio de Janeiro. Francisco Alves. Lakatos, I (1978) Pruebas y refutaciones. La lógica del descobrimiento matemático. Madrid. Alianza. Lopes, A. J. (1987) Erros: mentiras que se parecem verdades ou verdades que se parecem mentiras ?. São Paulo. Cadernos do CEM.